احصاء ديراك

إحصاء
فيرمي ديراك


 


إحصاء
فيرمي ديراك في الفيزياء لإنريكو فيرمي و بول ديراك هو دالة توزيع أوجداها منفردين
و تحكم احتمالية تواجد إلكترون ما يملك طاقة معينة في حالة كمومية ما, و لا يقتصر
التوزيع على الإلكترونات بل سائر جسيمات الشق الأول من الأجسام المتماثلة و هن
الفرميونات الذاعنة لمبدأ باولي للإستبعاد ((أو نصفيات المغزل)), أما الشق الثاني
و هو البوزونات ((صحيحات المغزل)) كالفوتونات فيرضخن لإحصاء بوز أينشتاين.


 


يجدر
الإنتباه إلى نقطة غاية في الأهمية هنا و هي إن امتلاك إلكترون ( أو فرميون على
وجه العموم) لطاقة ما لا تعني إطلاقا أنه سيستحوذ على مستوى الطاقة المقابل (الحالة
الكمومية), بل يجب أن ندرس كذلك شغور هذا المستوى عن طريق حسبان كثافة المستويات
عند مستوى الطاقة هذا.


 


و بتعميم
هذا المبدأ, ينتج لنا أن حسبان تركيز الفرميونات في مستوى طاقة ما يعتمد بشكل
أساسي على مرتكزين أساسين:كثافة المستويات : عدد الأماكن الخالية في هذا المستوى.


إحصاء
فيرمي ديراك : عدد الفرميونات التي تملك طاقة تبلّغها هذا المستوى.


 


الصياغة
الرياضية


 


ينجح هذا
الإحصاء عند تواجد التوازن الحراري في تخمين عدد الإلكترونات التي تملك طاقة E
حسب القانون التالي:


 


 





 


 


 


الرسم
البياني


عند الصفر
المطلق يكون التوزيع على هيئة دالة خطوة:


 





 


 


ما معناه
أن عند درجة الصفر المطلق:احتمالية وجود إلكترون عندمستوى طاقة أقل من طاقة فيرمي
هي 100 %


احتمالية
وجود إلكترون عند مستوى طاقة تساوي طاقة فيرمي هي 100 %


احتمالية
وجود إلكترون عند مستوى طاقة أعلى من فيرمي هي 0 %


 


 


لكن هذه
الإحتماليات تبعا لدرجة الحرارة كما يوضح الرسم.


 


 


عند 0 كلفن,
يأخذ خط الرسم قيمة صفرية عند طاقات أعلى من طاقة فيرمي مشيرا لإستحالة وجود
إلكترون فوق مستوى فيرمي, لكن ارتفاع درجة الحرارة يعود بطاقة حرارية للإلكترون
تساعده على تجاوز خط فيرمي فيبدأ الرسم بالإنحناء ليشير إلا أن احتمالية تواجد
إلكترون فوق فيرمي باتت أعلى من الصفر, و كلما زادت الحرارة زادت الإلكترونات
المتخطية لخط فيرمي, وزاد إنحناء الرسم.


 


ييجد هذا
الإحصاء تطبيقا في الحياة العملية في أشباه الموصلات و هو أحد مداخل دراسة النبائط
و أساسي تماما في فهم فكرة تصنيع وصلة م س. لكن كما سلف ذكره, ليس التوزيع حصرا
على الإلكترونات بل يستوعب كل الفرميونات, فالفجوات ذات الشحنة الموجبة تخضع كذلك
لهذا التوزيع, و تملك توزيعا مشابها لما في الرسم لكن بشكل يناظره حول خط فيرمي.